Question

已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）存在且，使成立，求的取值范围.

Answer

（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求，再由得增区间，由得减区间；（2）先转化为在上存在减区间，即有解，分离参数得有解，只需即可.

试题解析：（1），令得，

时，，单调递增；时，，单调递减；

综上，单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）不妨设，由（1）知时，单调递减.

等价于，

即，

存在且，使成立.

令，在上存在减区间.

有解，即有解，即.

令，，

时，，单调递增，时，，单调递减，

∴，∴.

考点：1、利用导数研究函数的单调性及最值；2、不等式有解求参数范围问题.

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值及不等式有解问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布列不等式组解答，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）,本题（2）就是用这种方法求得的取值范围的.