Question

已知函数，其中

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断并证明函数在上的单调性；

（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由

Answer

（1）奇函数；（2）在上的减函数；（3）存在这样的k其范围为.

【解析】

试题分析：（1）已知函数的定义域关于原点对称，再证明，所以函数是奇函数；（2）用定义证明函数在上单调递减的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）由（1）（2）得，不等式可变形为，从而得到不等式组，解得 .

试题解析：（1）∴是奇函数．

（2）任取

∴在上的减函数；

（3）

是上的减函数

对恒成立

由对恒成立得：

对恒成立

令

由得：

由得：

即综上所得：

所以存在这样的k其范围为

考点：函数的奇偶性、单调性和最值.