Question

已知 (a>0)是定义在R上的偶函数，

（1）求实数a的值；

（2）判断并证明函数在的单调性；

（3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）函数在上是单调递增的；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由函数为偶函数，得，代入函数表达式，化简求得，由，得；（2）用定义证明函数在上单调递增的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）将不等式转化为在上恒成立，即，只需求得函数的最小值，代入不等式即可求得m的范围.

试题解析：解析：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)

即＝

∴ex－e－x＝0，

∴ (ex－e－x)＝0，

∴a－＝0，即a＝±1.

而a＞0，∴，∴f(x)＝ex＋e－x.

（2）函数在上是单调递增的.

证明：任取且x1＜x2，

∴f(x)在上是增函数．

（3）由题意，在上恒成立，

则只需

∵f(x)为偶函数，且f(x)在上是增函数∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，

∴f(x)的最小值为

则有 ，因此.

考点：函数的单调性、最值；函数的奇偶性和周期性.