Question

在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知,.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）设点在内（含边界）,且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）点的轨迹是线段，.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求证：平面，证明线面垂直，即证线线垂直，即在平面找两条相交直线与垂直，由于底面为菱形，则，又底面，得底面，即，从而得证；（Ⅱ）求证：∥平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到是的中点，连接,交于点，连接，证得四边形是平行四边形，从而得∥，从而可证∥平面；（Ⅲ）连接，则，又在中，,又为中点，所以，得平面，由已知可知，∥，由，得，故点一定在线段上，这样就得到点的轨迹，进而可得的最小值.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）依题意, 因为四棱柱中，底面，所以底面.

又底面,

所以.

因为为菱形，

所以.

而，

所以平面.

（Ⅱ）连接,交于点，连接.

依题意，∥,

且，,

所以为矩形.

所以∥.

又,,,

所以=，所以为平行四边形，

则∥.

又平面，平面,

所以∥平面.

（Ⅲ）在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点.

分析如下：连接，则.

由于∥,故欲使，只需,从而需.

又在中，,又为中点，所以.

故点一定在线段上.

当时，取最小值.

在直角三角形中，,,,

所以.

考点：点、线、面的位置关系；解析几何的综合应用.