Question

如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：

①B，E，F，C四点共面； ②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD；.⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径.

其中正确的有_____________．(请写出所有符合条件的序号) 

Answer

①②③.

【解析】

试题分析：由展开图恢复原几何体如图所示：

①在△PAD中，由PE=EA，PF=FD，根据三角形的中位线定理可得EF∥AD，

又∵AD∥BC，∴EF∥BC，

因此四边形EFBC是梯形，故B，E，F，C四点共面，所以①正确；

②由点A不在平面EFCB内，直线BE不经过点F，根据异面直线的定义可知：直线BE与直线AF异面，所以②正确；

③由①可知：EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，故③正确；

④如图2：假设平面BCEF⊥平面PAD．过点P作PO⊥EF分别交EF、AD于点O、N，

在BC上取一点M，连接PM、OM、MN，

∴PO⊥OM，又PO=ON，∴PM=MN．

若PM≠MN时，必然平面BCEF与平面PAD不垂直．

故④不一定成立．

⑤可画出该几何体沿底面正方形的边及侧棱剪开后所得的平面展开图，由该展开图即可求得从B点出发，绕过平面PAD，到达点C的最短距离，从而判断出该结论是错误的.

综上可知：只有①②③正确.

考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线的位置关系.