Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD₁，D₁C₁的中点，则直线OM(  ) 

A．与AC，MN均垂直相交

B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与MN垂直，与AC不垂直

D．与AC，MN均不垂直

Answer

A

【解析】

试题分析：方法（1）：此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零．以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0）、D1（0，0，2a）、M（0，0，a）、A（2a，0，0）、C（0，2a，0）、O（a，a，0）、N（0，a，2a）．

∴=（-a，-a，a），=（0，a，a），=（-2a，2a，0）．∴ =0，=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．

方法（2）：由三垂线定理可证OM⊥AC，由勾股定理逆定理可证OM⊥MN.

故选A．

考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系；三垂线定理；线线垂直的判定与性质.