Question

在平面直角坐标系中，点和两个动点，满足，动点满足，，设动点的轨迹为.

（1）求的值；

（2）求轨迹的方程；

（3）证明：轨迹的任意两条互相垂直的切线的交点均在直线上.

Answer

（1）－4；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由得，可得；（2）设，由，知，，由向量平行的坐标表示可得的关系，即轨迹方程；（3）显然切线的斜率是存在的，设一条切线方程为，由相切可得，即方程为，那么与之垂直的切线方程为，两方程联立可解得，证得在直线上．

试题解析：（1）由题意得：，

因为，所以.

（2）设动点，则，，，，

因为，，所以，故，

由（1）得轨迹的方程为；

（3）设直线为轨迹的切线，

由，得方程有唯一实数解，

所以，解得，

故直线，同理可得直线，

由，得，即证.

考点：向量的垂直与向量的平行，直线与抛物线位置关系问题．