Question

如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，BC=4，现要将此铁皮剪出一个，其中边MN⊥BC，点在曲线上运动.

（1）设∠MOD=30°，若，求的面积；

（2）求剪下的铁皮面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要求三角形的面积，首先研究条件，由于MN⊥BC，因此点在线段上，从而，为此只要设MN交AD交于Q点，求出MN和AQ的长即可得面积；（2）铁皮在变化，但由于始终有MN⊥BC，因此P到MN的距离的最大值是P在线段AB上，就选为A点，同（1）即高的最大值为AQ，这样就只有MN在变化，为确定位置，设∠MOD=θ，则 MQ=2sinθ，OQ=2cosθ，，实质上我们得出了S△PMN=MN(2+2sinθ)(2+2cosθ) =2 (1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)，（其中是P到MN的距离），利用换元法可求得此式的最大值．

试题解析：（1）设MN交AD交于Q点，，点在线段上，

∵∠MQD=30°，∴MQ=，OQ=

S△PMN=MNAQ=××（2+）=

（2）设∠MOD=θ，则 MQ=2sinθ，OQ=2cosθ.

设到的距离为，则，

∴S△PMN=MN(2+2sinθ)(2+2cosθ) =2 (1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)

令sinθ+cosθ=t∈，则S△PMN=2 (1++)

当t=即θ=，且在线段上时，S△PMN取得

最大值，最大值为.

考点： 三角形的面积，三角函数的应用．