Question

已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点.

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线，交抛物线于点、交抛物线于点，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）椭圆方程为，抛物线方程为；（Ⅱ）16．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）已知焦点坐标，即知，又椭圆过点，那么此点到两焦点的距离之和为椭圆长轴长，由此可得，从而易得，椭圆方程可得，要注意的椭圆标准方程的形式，正确得出椭圆标准方程后，右顶点易知，即抛物线的焦点变为已知了，标准方程也易得；（Ⅱ）过抛物线焦点作两条互相垂直的直线与抛物线相交，它们的斜率一定存在，因此可设他们的方程为：：设交点为.直线方程与抛物线方程联立方程组，由韦达定理可，类似地，把向量表示为，表示为，再求可以利用直线得，由抛物线定义可得

，最后由基本不等式可得最值．

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，焦距为，则由题意得，又由椭圆定义得，，则，所以椭圆方程为，椭圆的右顶点为，所以抛物线方程为.

（Ⅱ）设的方程为：的方程为：设

.由消去得：，

所以，同理.

所以

，

当且仅当，即时，的最小值为.

考点：椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，直线与抛物线相交的综合问题．

【名师点睛】椭圆问题中的易错点：

1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．

2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＝1(a＞b＞0)．

3．注意椭圆的范围，在设椭圆＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．