Question

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线在第一象限的交点为，若，求的值

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）求得圆的方程，运用直线和相切的条件：，求得，再由离心率公式和的关系，可得，进而得到椭圆方程；（2）设出的坐标，代入椭圆方程，求得交点的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．

试题解析：【解析】
（1）由题设可知，圆的方程为，因为直线与圆相切，故有

所以

因为，所以有，即

所以椭圆的方程为

（2）设点，则

由解得

考点：椭圆的简单性质．