Question

数列满足：，对任意有成立.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）设数列的前项和为，通项公式为，若对任意的存在，使得成立，则称数列为“”型数列. 已知为偶数，试探求的一切可能值，使得数列是“”型数列.

Answer

（1）；（2） ；（3）时，数列为“”型数列．

【解析】

试题分析：（1）直接对正整数分奇数和偶数进行分类求解其通项即可；（2）对正整数先分偶数和奇数进行求解，再进行整合即可；（3）依据对正整数的奇数和偶数的情形进行分类求解，再整合书写答案即可．

试题解析：

（1）因为①，所以②

②-①得：

所以

因为，∴，所以

所以

（2）当为奇数时，

当为偶数时，

所以

（3）因为偶数，所以对于，当为奇数时，为偶数；为偶数时，为奇数

i)当时，为奇数，取为偶数，为奇数，则由得，所以且由，所以，所以

ii)当时，为偶数，取为奇数，则为偶数，由得

ⅲ）时，为偶数，取为奇数，由得，

∵，∴

ⅳ）当时，为奇数，取为偶数，则由得，∵，∴

所以时，数列为“”型数列，否则数列不是“”型数列.

考点：1、叠加法在求数列的通项及前项和的应用；2、分类整合的数学思想和方法；3、灵活运用数列知识分析问题解决问题的能力；4、运算求解、推理论证的能力和创新意识．

【易错点晴】本题是以数列为载体,考查是数列的有关知识和推理论证能力的运用，属于难题．解题时一定要借助题设条件，运用分类整合的数学思想和方法,否则很容易出现错误．在分类整合时，需要强调的是：一定要注意按逻辑进行划分，做到分类时不重不漏，防止出现错误．本题中的第三问定义了新的概念“”型数列，解答时要充分借助这一信息进行分析求解．