Question

设等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且，（）.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）求数列的通项公式及前项和为；

（3）记集合，若集合中有且仅有5个元素，求实数的取值范围.

Answer

（1） ，；（2）； ；（3） ．

【解析】

试题分析：（1）依据题设及等差数列的通项公式建立方程解；（2）先依据题设运用叠乘的方法求,再运用错位相减法求；（3）运用函数的单调性建立不等式进行求解．

试题解析：

（1）由题意得，解得，所以，

所以.

（2）由得

所以当时，即，

当时，，适合上式，所以.

，①

，②

①-②得，，

所以

（3）因为

所以由上面可得:，令

又因为，

所以当时，，即

又，，，，，

因为集合中有且仅有5个元素，所以，解的个数为5，

所以.

考点：1、等差数列的通项及前项和的应用；2、数列中的叠乘、错位相减等数学方法；3、灵活运用数列知识分析问题解决问题的能力．

【易错点晴】本题主要考查的是数列与等差数列的通项公式及前项和公式的运用，属于中档偏难的问题．解题时一定要借助题设条件，灵活运用数学思想和方法，否则很容易出现错误．第一问直接利用等差数列的通项和前项和公式建立方程组求解；第二问中则运用了错位相减法进行求解；第三问是运用函数的单调性建立不等式进行求解．解范围这类问题的常规思路是要建立函数或建立不等式，灵活运用数学思想和方法进行转化与化归．