Question

设，函数．

（Ⅰ）若，求函数在区间上的最大值；

（Ⅱ）若，写出函数的单调区间（不必证明）；

（Ⅲ）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）单调递增区间是和，单调递减区间是 ； （3）.

【解析】

试题分析：（1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断的最大值为；（2）将函数去掉绝对值化为分段函数，当时，这是二次函数，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性；（3）由于关于的方程有三个不相等的实数解，所以函数在其定义域内必定有增有减。①当时，，所以在上是增函数，所以不符合题意。②当时，由（2）知在和上分别是增函数，在上是减函数，且，所以当且仅当时，方程有三个不相等的实数解；又，所以，利用均值不等式解得实数的取值范围是．

试题解析：【解析】
（1）当，时，

作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，

所以的最大值为

（2）

①当时，，

因为，所以，

所以在上单调递增．

②当时，，

因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．

综上，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是

（3）①当时，，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解．

②当时，由（2）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．

即．

令，在时是增函数，故

所以，实数的取值范围是

考点：含绝对值的函数；二次函数的图像和性质；均值不等式.