Question

如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，,平面平面。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）方法一：连接，由已知易证明，然后利用直线与平面垂直的性质即可证明结论.也可利用三垂线定理证明；方法二：建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，计算，即向量垂直；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量的坐标和平面的法向量的坐标，向量和的夹角就是平面和平面的夹角的补角，即二面角的补角.

试题解析：

证明：（Ⅰ）连接. 在正方形中，.

因为 平面平面，平面平面，平面，

所以 平面.

因为 平面，

所以 .

在菱形中，.

因为 平面，平面，，

所以 平面.

因为 平面，

所以 .

（Ⅱ）在平面内过点作.由（Ⅰ）可知：平面. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则.在菱形中，，所以 ，. 设平面的一个法向量为.

因为 即

所以 即

由（Ⅰ）可知：是平面的一个法向量,且=

所以 .

所以 二面角的余弦值为.

方法2：证明：连接. 在正方形中，.

因为 平面平面，平面平面，平面，

所以 平面.

在平面内过点作. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则.在菱形中，，所以 ，.

（Ⅰ）,

所以

所以 .

（Ⅱ）设平面的一个法向量为.

因为 即

所以

即 (,1)

又因为且所以

即是平面的一个法向量,且=

所以 .

所以 二面角的余弦值为.

考点：直线与直线、直线与平面垂直的判定与性质；异面直线所成的角；空间直角坐标系；向量的数量积.