Question

给定椭圆： ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．

（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ） 过点作直线,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．求出的值．

Answer

(Ⅰ) ；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由椭圆的定义知：，则，半焦距，所以，椭圆的方程为，“伴随圆”的方程为；

（Ⅱ）直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x(或y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理得出坐标的关系,同时注意判别式，求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解。注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用。本题中直线的斜率显然存在，设其方程为，联立直线与椭圆方程得：

整理得；由于直线与椭圆只有一个交点，所以，即①；又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，则有 化简得 ② ，联立①②解得：，所以.

试题解析：

【解析】
(Ⅰ)由题意得：，则，半焦距

所以，椭圆的方程为

“伴随圆”的方程为

（Ⅱ）由题意，直线的斜率显然存在。

设过点，且与椭圆有一个交点的直线为，

联立直线与椭圆方程得：

整理得

所以，即①

又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，

则有 化简得 ②

联立①②解得：，所以

考点：椭圆与圆的定义和标准方程；直线与圆锥曲线方程的综合应用.