Question

田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c。三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜.若这六匹马比赛的优劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c .

(Ⅰ)如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；

(Ⅱ)为了得到更大的获胜概率，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马.那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大？

Answer

（Ⅰ）;(Ⅱ)详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用列举法，要注意做到不重不漏；

（Ⅱ）因为田忌要取胜，只有田忌的下等马对齐王的上等马，田忌的中等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马才可以取胜，齐王第一场必出上等马，所以田忌第一场需出下等马，还剩下田忌的上等马和中等马，齐王的中等马和下等马，所以此题可以看做需两步完成的事件，采用列表法或者树状图法都可以.

试题解析：记A与a比赛为（A，a），其它同理．

（Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：

（A，a）、（B，b）、（C，c）；（A，a）、（B，c）、（C，b）；

（A，b）、（B，c）、（C，a）：（A，b）、（B，a）、（C，c）；

（A，c）、（B，a）、（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）；

其中田忌获胜的只有一种：（A，c）、（B，a）、（C，b），故田忌获胜的概率为

（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败。为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c，后两场有两种情形：

①若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）、（C，b）或（B，b）、（C，a）.田忌获胜的概率为

②若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：（C，a）、（B，b）或（C，b）、（B，a）．田忌获胜的概率也为．

所以，田忌按c、a、b或c、b、a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大.

考点：1.列举法；2.概率.