Question

在直角坐标系xoy上取两个定点A₁（﹣2，0），A₂（2，0），再取两个动点N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3．

（1）求直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；

（2）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率k_AE与直线AF的斜率k_AF满足k_AE+k_AF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．

Answer

（1）（2）直线EF的斜率为定值，其值为

【解析】

试题分析：（1）先分别求直线A1N1与A2N2的方程，进而可得，利用mn=3，可以得，又点（-2，0），（2，0）不在轨迹M上，故可求轨迹方程；（2）先求点A的坐标，将直线AE的方程代入并整理，利用得，从而可表示直线EF的斜率，进而可判断直线EF的斜率为定值

试题解析：（1）依题意知直线的方程为：①

直线A2N2的方程为：②

设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①×②得

由mn=3整理得

∵N1，N2不与原点重合∴点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上，

∴轨迹M的方程为（x≠±2）

（2）∵点A（1，t）（t＞0）在轨迹M上∴解得，即点A的坐标为

设kAE=k，则直线AE方程为：，代入并整理得

设E（xE，yE），F（xF，yF），∵点在轨迹M上，

∴…………③，④

又kAE+kAF=0得kAF=﹣k，将③、④式中的k代换成﹣k，

可得，

∴直线EF的斜率∵

∴

即直线EF的斜率为定值，其值为

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程