Question

已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点．

（Ⅰ）当直线的斜率为时，求线段的长；

（Ⅱ）记，试求t的值．

Answer

（Ⅰ）8（Ⅱ）1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当直线l的斜率为1，解方程组，消去y得，由韦达定理得，即可求线段MN的长；（Ⅱ）记，分类讨论，利用韦达定理求t的值

试题解析：（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点，准线方程为：

设，，由抛物线的定义知

，，

于是

由，所以直线的方程为，

解方程组，消去得

由韦达定理得，

于是

所以，线段的长是

（Ⅱ）设,直线的方程为

联立得，

,

因为, , 异号,又

所以 , 所求t的值为

方法二：设,

当直线的斜率不存在时，，

当直线的斜率不存在时，设直线方程为

联立消去得，

,

所以，所求t的值为

考点：1.抛物线方程及性质；2.直线与抛物线相交的相关问题