Question

设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．

（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；

（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x₀，当x＞x₀时，f（x）＞0．

Answer

（1）．（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）当a=λ时，函数f（x）=﹣（x＞0）．f′（x）=，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究其单调性，即可得出最小值．

（2）函数f（x）=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．利用导数研究其单调性即可得出．

（1）【解析】
当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．

f′（x）=﹣=，

∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．

∴当x＞λ时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；

当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．

∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值，

∴f（（λ）==0，解得λ=．

（2）证明：函数f（x）=﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．

令u（x）=x﹣λ﹣alnx．

u′（x）=1﹣=，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，u（x）→+∞．

一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，

∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．