Question

如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C丄侧面ABB₁A₁，AC=AA₁=AB，∠AA₁C₁=60°，AB⊥AA₁，H为棱CC₁的中点，D在棱BB₁上，且A₁D丄平面AB₁H．

（Ⅰ）求证：D为BB₁的中点；

（Ⅱ）求二面角C₁﹣A₁D﹣A的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D为BB1的中点；

（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．

（Ⅰ）证明：连接AC1，

∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，

∴三角形ACC1是正三角形，

∵H是CC1的中点，

∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，

∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，

∴AH⊥ABB1A1，

以A为原点，建立空间直角坐标系如图，

设AB=，则AA1=2，

则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），

则=（，2，0），=（，t﹣2，0），

∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．

∴A1D丄AB1，

则×=（，2，0）×（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，

即D（，1，0），

∴D为BB1的中点；

（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），

设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），

则由×=x﹣y=0），×=﹣y+z=0，得，

令x=3，则y=3，z=，=（3，3，），

显然平面A1DA的法向量为==（0，0，），

则cos＜，＞===，

即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．

考点：二面角的平面角及求法．