Question

设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）²的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：

①abc的取值范围是（0，4）；②a²+b²+c²为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（  ）

A．0    B．1    C．2    D．3

Answer

C

【解析】

试题分析：作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．

【解析】
令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．

当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．

∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，

当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．

作出函数f（x）的图象如图所示：

∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．

令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．

∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，

∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．

由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，

∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．

故①，②正确，

故选：C．

考点：函数的图象．