Question

给出下列函数：

①f（x）=xsinx；

②f（x）=e^x+x；

③f（x）=ln（﹣x）；

∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（  ）

A．①②    B．①③    C．②③    D．①②③

Answer

B

【解析】

试题分析：①求出f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；

②求出（ex+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；

③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．

【解析】
对于①，f（x）=xsinx，

∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，

∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，

令2sina﹣2acosa=0，

∴sina=acosa，

又cosa≠0，∴tana=a；

画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；

在（0，）内，两函数的图象有交点，

即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①满足条件；

对于②，f（x）=ex+x，（ex+x）dx=（ex+x2）=ea﹣e﹣a；

令ea﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；

对于③，f（x）=ln（﹣x）是定义域R上的奇函数，

且积分的上下限互为相反数，

所以定积分值为0，满足条件；

综上，∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是①③．

故选：B．

考点：特称命题．