Question

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，

（1）若三角形F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求的取值范围；

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1），（2）（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）因为，

所以，

由此可知“果圆”方程为，．

（2）由题意，得，所以a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．再由可知的取值范围．

（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．

当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

【解析】
（1）∵，

∴，

于是，

所求“果圆”方程为，

（2）由题意，得a+c＞2b，即．

∵（2b）2＞b2+c2=a2，∴a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．

又b2＞c2=a2﹣b2，

∴．∴．

（3）设“果圆”C的方程为，．

记平行弦的斜率为k．

当k=0时，直线y=t（﹣b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，

与半椭圆的交点是Q．

∴P，Q的中点M（x，y）满足得．

∵a＜2b，∴．

综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上

当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．

由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为，轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．

当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．