Question

设0＜a＜b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别引直线l和m，使之与抛物线y²=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，这种直线l和m的交点P的轨迹为      ．

Answer

2x﹣（a+b）=0，（y≠0）

【解析】

试题分析：由题意设出l、m的方程，由圆系方程得到四点所共圆的方程，利用圆方程的特点得到直线l、m斜率的关系，消去参数，即可求得结论．

【解析】
如图，由题意可知，直线l和m的斜率存在且不为0，

设l：y=k1（x﹣a），m：y=k2（x﹣b），

即l：k1x﹣y﹣k1a=0，m：k2x﹣y﹣k2b=0，

则两直线l、m可写为（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）=0，

由圆系方程可得，过两曲线（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）=0与y2=x的交点的圆系方程为：

（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）+λ（y2﹣x）=0，

即﹣（k1k2a+k1k2b+λ）x+（k1a+k2b）y+k1k2ab=0．

由圆的方程可知，此方程中xy项必为0，故得k1=﹣k2，

设k1=﹣k2=k≠0，于是l、m方程分别为y=k（x﹣a）与y=﹣k（x﹣b）．

消去k，得2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．

∴所求轨迹方程为2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．

故答案为：2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．

考点：轨迹方程．