Question

设函数，.已知曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）求的值；

（2）求函数的极值点；

（3）若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）曲线的切线和某直线垂直，转化为导数值与直线斜率乘积等于，第一问容易解决；（2）求出后通分，对分子进行分类讨论，从而求出函数的单调区间；（3）构造函数，存在性问题，转化为来解决.

试题解析：（1），所以，所以.

（2），其定义域为，

，

令，，

①当时，，有，即，所以在区间上单调递减，故在区间无极值点.

②当时，，令，有，，

当时，，即，得在上递减；

当时，，即，得在上递增；

当时，，即，得在上递减，

此时有一个极小值点和一个极大值点.

③当时，，令，有，

当时，，即，得在上递增；

当时，，即，得在上递减，

此时有唯一的极大值点.

综上可知，当时，函数有一个极小值点和一个极大值点；

当时，函数在无极值点；

当时，函数有唯一的极大值点，无极小值点.

（3）令，

则，

若总存在，使得成立，

即总存在，使得成立，

即总存在，使得成立，即，

，因为，所以，即在上单调递增，

所以，

即对任意成立，

即对任意成立，

构造函数，，当时，，

∴在上单调递增，∴对于任意，，所以.

考点：1、函数与导数；2、分类讨论的数学思想.

【思路点晴】第一问切线和另一条直线垂直，转化为斜率乘积等于，这种形式的问法高考中出现频率很高；第二问对求导后通分，对分子的分类讨论是本题的难点.对于二次函数分类的标准，由于题目只需要考虑零点个数，所以这里用的是判别式来制定分类标准，有的题目需要对二次项系数进行分类，有的需要对对称轴或者区间进行分类；第三问是一个存在性问题，构造函数，转化为最值问题来解决.