Question

设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；

（2）过“相关圆”上任意一点作相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.若，证明原点到直线的距离是定值，并求的取值范围.

Answer

（1）椭圆的方程为，“相关圆”的方程为；(2) 或.

【解析】

试题分析：（1）抛物线焦点为，故，椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，即，从而求出椭圆方程与相关圆方程；（2）设出直线的斜截式方程，联立直线的方程和椭圆的方程求出两点横坐标的韦达定理表达式，利用得到一个关系式，利用直线和圆相切得到另一个关系式，由着两个关系式得出的取值范围.

试题解析：（1）因为抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以.

又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以，

故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为.

（2）设

联立方程组得，即，

，即，

∴

由条件得，

所以原点到直线的距离是，

由得为定值.

此时要满足，即，又，

即，所以，即或.

考点：1、直线和椭圆的位置关系；2、直线和圆的位置关系；3、抛物线的概念.

【思路点晴】第一问是基本的抛物线定义和椭圆基本量分析.一个抛物线方程给出来，可以求出焦点和准线，相应的性质也可以知道；椭圆的短轴端点和焦点所对应的的关系，易得椭圆的方程；第二问有两个关键点，一个是直线和圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，另一个关键点是直线和椭圆相交得到，，根据这两点，设出直线方程，列出方程组来求解.最后注意直线和椭圆相交，判别式要大于零.