Question

已知圆：经过椭圆：的左右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线.直线交椭圆于两点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当的面积取得最大值时，求直线的方程.

Answer

（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（I）由题意得把焦点坐标代入椭圆的方程求出，再由条件得到为圆的直径求出，根据勾股定理求出，根据椭圆的定义和，依次求出的值，即可求解椭圆的方程；（II）由（I）求出点的坐标，根据向量共线的条件求出直线的斜率，设直线的方程和的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形的面积求出的面积的表达式，化简后利用基本不等式求解面积的最大值及对应的的值，代入直线的方程即可.

试题解析：（Ⅰ）∵三点共线，∴为圆的直径，∴.

由，得，∴，

，，

∵，∴，

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题知，点的坐标为，

∵，

∴直线的斜率为，

故设直线的方程为，，

联立，得，

∴且，即

所以，

点到直线的距离，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

此时直线的方程为.

考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系，涉及到韦达定理和弦长公式、向量共线条件以及直线与圆、椭圆的位置关系等知识的综合应用，考查知识点多，综合性较强，属于中档试题，本题的解答中，设直线的方程和的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，求出的面积的表达式，利用基本不等式求解面积的最大值及对应的的值.