Question

已知抛物线C：，过点（12，0）作直线垂直轴交抛物线于两点，于E，AE//OM，O为坐标原点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在直线与抛物线C交于G、H两点，且是GH的中点. 若存在求出直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，方程为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要求的值，只需找到抛物线上的一点，代入解析式即求得，所以只需找到点中任意一点的坐标即可。由抛物线图像的性质及垂直轴，得；由是中点，，，根据三角形的性质得是等边三角形，从而得到点，代入，得.（Ⅱ）根据抛物线图像的性质，的斜率存在，且不为零。设出直线的方程并代入抛物线方程，得到关于y的一元二次方程，因为是GH的中点，由韦达定理得到，得， 同时验证判别式大于零，所以存在，方程为.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）因为垂直轴，所以关于轴对称，所以.

又因为是中点，，所以是中点，

又，所以，所以是等边三角形，所以，

所以，代入，得.

（Ⅱ）显然的斜率存在，且不为零.

设方程为 ，与联立，整理得，①

设，，因为是GH的中点

所以，得，

因为时，方程①的，

所以存在，方程为.

考点:直线和抛物线的综合应用.