Question

已知函数，且，且．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）判断函数在定义域上的奇偶性，并证明；

（Ⅲ）对于任意的， 恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）奇函数（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用代入法，得到a，b的方程，解得a，b，可得f（x）的解析式；（Ⅱ） 函数f（x）为奇函数．运用奇函数的定义，即可得证；（Ⅲ）恒成立，即为，运用参数分离和换元法，结合指数函数和二次函数的值域，可得右边的最大值，即可得到m的范围

试题解析：（Ⅰ）由已知可得，， 解得a=1，b=﹣1，

所以；

（Ⅱ） 函数f（x）为奇函数．

证明如下： f（x）的定义域为R，

∵ ∴函数f（x）为奇函数；

（Ⅲ）∵，∴，

∴2x﹣1＜m4x

∴=g（x），

故对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m4x恒成立等价于m＞g（x）max

令，则y=t﹣t2，

则当时，，

故，

即m的取值范围为．

考点：1. 函数的解析式、奇偶性；2. 函数恒成立问题