Question

设有关于的一元二次方程.

（1）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

Answer

(1) ；(2) .

【解析】

试题分析：(1)由题意可知：方程有实根的充要条件为，因为的取值是有限的，所以属于古典概型，分别列举出整个试验的基本事件空间和满足方程有解的基本事件，即得其概率；（2）因为的取值是无限的并且等可能，所以属于几何概型，用矩形面积表示整个试验的基本事件空间，矩形中位于直线下方的区域表示方程有解，用面积比即得其概率.

试题解析：设事件为“方程有实根”.当时，方程有实根的充要条件为.

（1）基本事件共12个：.其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值.事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为.

（2）实验的全部约束所构成的区域为.构成事件的区域为.所以所求的概率为.

考点：古典概型和几何概率中某事件的概率.

方法点睛：本题结合同一载体分别考查了概率中的两种经典概型——古典概型和几何概型，属于中档题.解答的关键是由题目给出的的取值范围和两种概型的特征确定概率类型.第一问具备有限性和等可能性，属于古典概率，通过列举的方法即可求得试验的基本事件个数和事件的基本事件个数；第二问具有无限性和等可能性，属于几何概型，因为有两个变量，所以用区域面积表示事件空间，把问题转化为求平面图形的面积就容易解答了.