Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），给出下列结论：

①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为      ．

Answer

①④

【解析】

试题分析：对于①，利用赋值法，取x=1，得f（3）=﹣f（1）=1即可判断；

对于③由f（x﹣4）=f（﹣x）得f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），即f（x）关于直线x=﹣2对称，

对于②结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[﹣2，2]上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=﹣2对称，可得函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；

对于④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．

【解析】
取x=1，得f（1﹣4）=﹣f（1）=﹣log2（1+1）=﹣1，所以f（3）=﹣f（1）=1，故①的结论正确；

∵f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x），即f（x﹣4）=f（x+4）

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x﹣4）=f（﹣x），

∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），

∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，故③的结论不正确；

又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，

∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，

∵函数f（x）关于直线x=﹣2对称，

∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故②的结论不正确；

若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为﹣8．故④正确

故答案为：①④．

考点：抽象函数及其应用；函数的周期性．