Question

已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若，试证明：对任意，恒成立．

Answer

（I）；（II）证明见解析.

【解析】

试题分析：先求得，（I）可得，在上有解，可通过函数的单调性求得在上的最值，即的取值范围；（II），则，，由恒成立，可以够一个新的函数，只要证明的最大值小于，即可得证.

试题解析：（Ⅰ）由得，，所以曲线在点处的切线斜率为，，

曲线切线方程为，即．

（Ⅱ）由，可知，令，则，令，对任意，有，所以；令,对任意, ,可知在上为递增函数，在上递减函数，所以，又，所以，即，也即，所以有恒成立。

考点：导函数的运用，函数的单调性与最值.

【思路点睛】求函数在某点处的切线，首先求得该点，利用导数可求得该点处切线的斜率，由点斜式便可求得切线方程；对于不等式恒成立的证明，因为在中不存在，所以需要构造一个新的函数，通过求的最大值来证明恒成立，在求的最大值时，可以先利用导函数求得的最大值，再求的最大值.