Question

已知函数（为自然对数的底数）．

（1）求函数的最小值；

（2）若对任意的恒成立，求实数的值．

Answer

（1）函数的最小值为；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先求函数的导数，然后根据求得函数的极值点，并判断两侧导数的正负，得到函数的单调性，最后根据函数的单调性求得函数的最小值；

（2）要满足恒成立，只需满足，根据上一问得到是函数的最小值，所以设．根据判定函数的单调区间和最值，最后根据函数的最值解得的解集.

试题解析：（1）由题意，由得，当时，；当时，．∴在单调递减，在单调递增．

即在处取得极小值，且为最小值，其最小值为．

（2）任意的恒成立，即在上，．由（1），设，所以，由得，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴在处取得极大值，因此的解为，∴．

考点：1.导数与单调性；2.导数与函数的最值.