Question

已知函数．

（1）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（2）若、，使成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由导数的几何意义可知在有，利用不等式性质可得的最小值；（2）求最小值，最大值，可分析得结论.

试题解析：（1）因在上为减函数，

故在上恒成立，

又，

故当，即时，，

所以，于是，故的最小值为．

（2）命题“若，使成立”等价于“当时，有”，

由（1），当时，，所以，

问题等价于：“当时，有”．

①当时，由（1），在上为减函数，

则，故；

②当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即．

（ⅰ）若，即在上恒成立，故在上为增函数，

于是，，不合题意；

（ⅱ）若，即，由的单调性和值域知，

唯一，使，且满足：

当时，为减函数；当时，为增函数；

所以，，

所以，，与矛盾，不合题意．

综上，得．

考点：导数的几何意义、不等式的性质.