Question

如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．

(Ⅰ)求圆的方程；

(Ⅱ)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意得：，再根据半径、半弦长、点到直线距离勾股关系得：，从而所求圆的方程为（Ⅱ）证明，就是证明，设，也就是要证明，即需证，这时可利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理代入验证即可.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为.

∵∴ ，解得．

∴圆的方程为．

（Ⅱ）把代入方程，解得或，

即点．

（1）当轴时，可知=0

（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．

联立方程，消去得，

设直线交椭圆于两点，则

，．

∴ ．

考点：圆的方程，直线与椭圆位置关系

【方法点睛】

求圆的方程有两种方法：

（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于的方程组求解．

（2）几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．