已知函数.
(1)解不等式;
(2)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线(),过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于,两点.
(1)写出曲线的平面直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若,,成等比数列,求实数的值.
如图,直线为圆的切线,切点为,点在圆上,的角平分线交圆于点,垂直交圆于点.
(1)证明:;
(2)设圆的半径为,,延长交于点,求外接圆的半径.
已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,且对任意恒成立,求的最大值;
(3)对于在区间上的任意一个常数,是否存在正数,使得成立?请说明理由.
已知椭圆()的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,过点作与轴不重合的直线交椭圆于,两点,连接,分别交直线于,两点,若直线、的斜率分别为、,试问:是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学(男女),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表(单位:人):
(1)能否据此判断有%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在分钟,现甲、乙各解答同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率;
(3)现从选择做几何题的名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被.
抽到的人数为,求的分布列及数学期望.
附表及公式: