Question

已知圆().

（Ⅰ） 若，求直线被圆所截得的弦长；

（Ⅱ） 若，如图，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点的动直线l与圆相交于两点．问：是否存在实数，使得对任意的直线l均有？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ） 存在

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当a=1时，求出圆心，半径，求出圆心C到直线y=x的距离，由此利用勾股定理能求出直线y=x被圆C所截得的弦长；（Ⅱ）先求出所以M（1，0），N（a，0），假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入，利用韦达定理，根据NA、NB的斜率之和等于零求得a的值．经过检验，当直线AB与x轴垂直时，这个a值仍然满足∠ANM=∠BNM，从而得出结论

试题解析（Ⅰ） 当，圆的标准方程为：，

圆心到直线的距离，

所以，所得弦的长为．

（Ⅱ） 令得：，即，所以.

假设存在实数，使得.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立消去y得：，

设，则

因为，所以

因为，所以，

又因为，所以，解得．当直线的斜率不存在时也成立．

故存在，使得. 12分

考点：圆方程的综合应用