Question

如图，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点．将沿折起到图中的位置，得到四棱锥.

(Ⅰ) 证明：平面；

(Ⅱ) 若平面平面，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值．

Answer

(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)

【解析】

试题分析：（I）在图1中证明AC⊥BE，则在图2中BE⊥平面，再使用平行四边形性质证明CD∥BE即可；（II）根据棱锥的体积求出a，由BE∥CD即可知道E到平面的距离即为O到平面的距离，结合（1）的结论即知h也是O到的距离

试题解析：(Ⅰ) 在图中，AD∥BC，

，，，

所以，即在图2中，

．

又，所以平面，又，

所以平面.

(Ⅱ) 由已知，平面平面，

又由(Ⅰ)知，，

所以为二面角的平面角，所以.

如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

因为，，

所以

，.

设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，

由得取，

由得取，

从而，

即平面与平面夹角的余弦值为.

考点：1.线面垂直的判定；2.二面角求解