Question

设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由

Answer

（I）（II）

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的离心率及过点，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程；（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，与椭圆联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出|AB|的取值范围

试题解析：（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,

所以解得所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该的切线方程为解方程组得,即,

则△=,即

要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

因为,

所以,

,

①当时

因为所以,

所以, 所以当且仅当时取”=”. 当时,.

当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,

综上, |AB |的取值范围为即:

考点：1.椭圆方程及性质；2.直线与椭圆，圆相交的位置关系