Question

已知函数，且.

（1）求证：函数有两个不同的零点；

（2）设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围；

（3）求证：函数在区间内至少有一个零点.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根，证明判别式大于零即可；（2）利用韦达定理将用变量表示，在用配方法求其最值；（3）利用零点定理只需证明即可.

试题解析：（1）证明：∵，

∴，∴，

对于方程，

判别式，

又∵，

∴恒成立，

故函数有两个不同的零点.

（2）由是函数的两个不同的零点，

则是方程的两个根.

∴，，

∴，

故的取值范围是.

（3）证明：∵，，

由（1）知：，

∴.

（I）当时，有，又∵，

∴，

∴函数在区间内至少有一个零点.

（II）当时，，，

∴函数在区间内至少有一个零点.

综上所述，函数在区间内至少有一个零点.

考点：1、函数零点与方程根的关系；2、韦达定理与零点定理.

【方法点睛】判断函数零点个数的常用方法：（1）直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，本题（3）主要利用方法（2）解决的.