Question

已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.

（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.

Answer

（1）减区间为，增区间为，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将看成整体,研究对勾函数的单调性，从而求出函数的值域，以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；（2）对于任意的，总存在，使得可转化成的值域为的值域的子集，建立关系式，解之即可.

试题解析：（1），

设，，，则，.

由已知性质得，当，即时，单调递减，所以减区间为；

当，即时，单调递增，所以增区间为；

由，，，得的值域为.

（2）因为为减函数，故，.

由题意，得的值域是的值域的子集，所以，所以.

考点：1、函数的单调性及值域；2、集合与集合之间的关系.