Question

如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAB；

（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EF∥AB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB．

（2）证明PE⊥AC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC，通过证明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，证明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．

证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB．

又EF⊄平面PAB，

AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，

∴PE⊥AC．

∵平面PAC⊥平面ABC，

平面PAC∩平面ABC=AC，

∴PE⊥平面ABC．

∴PE⊥BC．

又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，

又EF∩PE=E，

∴BC⊥平面PEF．

∴平面PEF⊥平面PBC．

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．