Question

已知幂函数f（x）的图象经过点．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用幂函数的定义，设f（x）=xα（α是常数），根据f（x）的图象过点，列出关于α的方程，求解即可得到答案；

（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差f（x1）﹣f（x2）化简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案．

【解析】
（Ⅰ）∵f（x）是幂函数，则设f（x）=xα（α是常数），

∵f（x）的图象过点，

∴，

∴α=﹣23，

故f（x）=x﹣2，即；

（Ⅱ）f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．证明如下：

设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

∴，

∵0＜x1＜x2∈（0，+∞），

∴x2﹣x1＞0，，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．