Question

甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a₁，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a₁乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a₁除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a₂，对a₂仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a₃，当a₃＞a₁时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a₁的取值范围是      ．

Answer

（﹣∞，12]∪[24，+∞）

【解析】

试题分析：按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．

【解析】
由题意得，a3的结果有四种：

1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，

2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3，

3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，

4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，

每一个结果出现的概率都是

∵a1+18＞a1，a1+6＞a1，

∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，

∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，

或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，

解得a1≥24或a1≤12．

故a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）

故答案为：（﹣∞，12]∪[24，+∞）

考点：相互独立事件的概率乘法公式．