Question

已知圆经过点A（－2，0），B（0，2），且圆心在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆相交于P、Q两点．

（1）求圆的方程；

（2）若，求实数k的值；

（3）过点作动直线交圆于，两点．试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）x2＋y2＝4．（2）k＝0．（3）存在圆或，使得圆经过点．

【解析】

试题分析：（1）设圆心C（a，a），半径为r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圆C的方程；（2）由，得∠POQ=120°，圆心C到直线l：kx-y+1=0的距离d=1，由此能求出k=0；（3）当直线m的斜率不存在时，圆C也是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出在以EF为直径的所有圆中，存在圆P经过点M（2，0）．

试题解析：（1）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆C经过点A（－2，0），B（0，2），

所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，

所以圆C的方程是x2＋y2＝4．

（2）因为

且与的夹角为∠POQ，

所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的

距离d＝1，又d＝，

所以k＝0．

（联立直线与圆的方程求解酌情给分）

（3） （ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，此时直线与圆的交点为，，即为圆的直径，而点在圆上，即圆也是满足题意的圆

（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，由，

消去整理，得，

由△，得或．

设，

则有 ①

由①得， ②

， ③

若存在以为直径的圆经过点，则，所以，

因此，

即，

则，所以，，

满足题意．

此时以为直径的圆的方程为，

即，

亦即．

综上，在以为直径的所有圆中，存在圆：或，

使得圆经过点．

考点：1．圆的方程；2．向量的坐标运算；3．直线与圆锥曲线的综合问题