Question

如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．

（1）求证：EG//平面ABF；

（2）求三棱锥B-AEG的体积．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）取AB中点M，连FM，GM，证明EG∥FM．然后证明EG∥平面ABF；（2）作EN⊥AD，垂足为N，说明EN为三棱锥E-ABG的高．利用等体积法，通过求解即可

试题解析：（1）证明：取AB中点M，连FM，GM．

∵ G为对角线AC的中点，

∴ GM∥AD，且GM=AD，

又∵ FE∥AD，

∴ GM∥FE且GM=FE．

∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM．

又∵ 平面ABF，平面ABF，

∴ EG∥平面ABF．

（2）【解析】
作EN⊥AD，垂足为N，

由平面ABCD⊥平面AFED ，面ABCD∩面AFED=AD，

得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高．

∵ 在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60º，

∴ △AEF是正三角形．

∴ ∠AEF=60º，

由EF//AD知∠EAD=60º，

∴ EN=AE∙sin60º=．

∴ 三棱锥B-AEG的体积为

．

考点：1．线面平行的判定；2．三棱锥体积求解