Question

已知点，是圆（为圆心）上的动点，的垂直平分线与交于点．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设直线与的轨迹交于，两点，且以为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：面积的最大值及此时直线的方程．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，由线段的中垂线上的点到两端点的距离相等可知，所以可得，根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点的椭圆． （2）将直线方程与椭圆方程联立，消去可得关于的一元二次方程，可知其判别式大于0，由韦达定理可得两根之和，两根之积．由中点坐标公式可得的中点坐标．点在线段的中垂线上，根据两直线垂直斜率相乘等于可得的关系式．用弦长公式求，用点到线的距离公式求原点到直线的距离，从而可得的面积，用二次函数配方法可求得其最值．

试题解析：【解析】
（1）由题知

又

点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，

的轨迹方程为

（2）设，的中点为

将直线与联立得

，即 ①

又

依题意有，整理得 ②

由①②可得，

设到直线的距离为，则

当时，的面积取最大值1，此时，

直线方程为

考点：1椭圆的定义；2直线与椭圆的位置关系问题．