Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+）a_n+．
（1）设b_n=，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由已知得=+，即bn+1=bn+，由此能够推导出所求的通项公式．
（2）由题设知an=2n-，故Sn=（2+4+…+2n）-（1++++…+），设Tn=1++++…+，由错位相减法能求出Tn=4-．从而导出数列{an}的前n项和Sn．
【解析】
（1）由已知得b1=a1=1，且=+，
即bn+1=bn+，从而b2=b1+，
b3=b2+，
bn=bn-1+（n≥2）．
于是bn=b1+++…+=2-（n≥2）．
又b1=1，
故所求的通项公式为bn=2-．
（2）由（1）知an=2n-，
故Sn=（2+4++2n）-（1++++…+），
设Tn=1++++…+，①
Tn=+++…++，②
①-②得，
Tn=1++++…+-
=-=2--，
∴Tn=4-．
∴Sn=n（n+1）+-4．