Question

已知曲线C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R）
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．

Answer

（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2-3），解得：，设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为：，则，从而可得，=（xN，kxN+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明．
（1）【解析】
原曲线方程可化简得：
由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：，解得：
（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2-3）＞0，解得：
由韦达定理得：①，，②
设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为：，则，
∴，=（xN，kxN+2），
欲证A，G，N三点共线，只需证，共线
即成立，化简得：（3k+k）xMxN=-6（xM+xN）
将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．