Question

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a²=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值．

Answer

（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根据a2=4b，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（-∞，-1）上的最大值．
【解析】
（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：．
（2）由题设a2=4b，设
则，令h'（x）=0，解得：，；
∵a＞0，∴，

 x  （-∞，-） -     ）
 h′（x） +   -   +
 h（x）    极大值    极小值  

∴原函数在（-∞，-）单调递增，在单调递减，在）上单调递增
①若，即0＜a≤2时，最大值为；
②若，即a＞2时，最大值为
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；当a∈（2，+∞）时，最大值为．